El principi d'Arquimedes

Bé, com a primera entrada dins del blog vull parlar-vos d'una bonica història al voltant del Principi d'Arquimedes.

Primerament recordarem que dins de la unitat 3, on hem aprés a mesurar la densitat dels líquids i dels sòlids mitjançant diferents mètodes, es trobava un que utilitzava la mesura del empenyiment hidrostàtic (força d'empenyiment) que experimenten els sòlids quan els submergim dins d'un fluid, normalment d'un líquid, encara que també es produeix amb els gasos. Aquesta força d'empenyiment P podíem calcular-la mitjançant l'expressió:

 P = ρ_F · g · V_SS 

on:

• P és la força d'empenyiment en Newtons (N)
• ρ_F és la densitat del fluid (del líquid) en quilograms per metre cúbic (kg/m³) 
• g és l'acceleració de la gravetat (9,81 m/s²) 
• V_SS és el volum del sòlid submergit en metres cúbics (m³)

A l'esquerra, la balança està anivellada. Al mig, la balança es desnivella perquè el cos penjat pesa menys quan rep la força d'empenyiment perquè es troba submergit, i desallotja un volum d'aigua igual al seu volum. A la dreta, la balança torna a anivellar-se perquè el pes del volum d'aigua desallotjada és el mateix que la força d'empenyiment per la qual cosa s'anul·len
Imatge lliure per l'ús no comercial CC - Wikipedia Commons (Autor: HB)

Aquesta expressió, coneguda com el principi d'Arquimedes s'enuncia així: "Qualsevol cos sòlid submergit dins d'un fluid experimenta una força, vertical i en sentit contrari al pes, que és equivalent al pes del volum de fluid desplaçat pel cos submergit".

Normalment, la densitat del fluid (aigua, ≈ 1 g/cm³) on submergim el sòlid és coneguda. Però quan es tracta de sòlids irregulars, on el seu volum submergit no es pot calcular geomètricament (com per exemple en un cub o un paral·lelepípede), ens trobem amb un problema difícil de resoldre: 

Com podem conéixer el seu volum submergit V_SS?

I això és el que li va passar a Arquimedes, però millor us conte la història:

Arquimedes prenent un bany   Imatge de domini públic CC - Wikipedia Commons

En el segle III a. de C., el rei Hierón II governava Siracusa. Sent un rei ostentós, va demanar a un orfebre que li creara una bella corona d'or, per al que li va donar un lingot d'or pur. Una vegada l'orfebre va haver acabat, li va lliurar al rei la seua desitjada corona. Llavors els dubtes van començar a assaltar-li. La corona pesava el mateix que un lingot d'or, però i si l'orfebre havia substituït part de l'or de la corona per plata per a enganyar-li?

Davant el dubte, el rei Hierón va fer cridar a Arquimedes, que vivia per aquell temps en Siracusa.Arquimedes era un dels més famosos savis i matemàtics de l'època, així que Herón va creure que seria la persona adequada per a abordar el seu problema.

Arquimedes des del primer moment va saber que havia de calcular la densitat de la corona per a esbrinar així si es tractava d'or pur, o a més contenia una mica de plata. La corona pesava el mateix que un lingot d'or, així només li quedava conèixer el volum, el més complicat. El rei Hierón II estava content amb la corona, i no volia fondre-la si no hi havia evidència que l'orfebre li havia enganyat, per la qual cosa Arquimedes no podia modelar-ho de manera que facilitara el càlcul del seu volum.

Un dia, mentre prenia un bany en una tina, Arquimedes va adonar-se que l'aigua pujava quan ell se submergia. De seguida va començar a associar conceptes: ell en submergir-se estava desplaçant una quantitat d'aigua que equivaldria al seu volum. Conseqüentment, si submergia la corona del rei en aigua, i mesurava la quantitat d'aigua desplaçada, podria conèixer el seu volum.

Sense ni tan sols pensar a vestir-se, Arquimedes va eixir corrent nu pels carrers emocionat pel seu descobriment, i sense parar de cridar "Eureka! Eureka! ", la qual cosa traduït al valencià significa “Ho he trobat! ”. Coneixent el volum i el pes, Arquimedes podria determinar la densitat del material que componia la corona. Si aquesta densitat era menor que la de l'or (19 g/cm³), s'haurien afegit materials de pitjor qualitat (menys densos que l'or), per la qual cosa l'orfebre hauria intentat enganyar al rei.

Així va prendre una peça de plata del mateix pes que la corona, i una altra d'or del mateix pes que la corona. Va omplir un atuell d'aigua fins al topall, va introduir la peça de plata i va mesurar la quantitat d'aigua vessada. Després va fer el mateix amb la peça d'or. D'aquesta manera, va determinar què volum equivalia a la plata i quin volum equivalia l'or.

Va repetir la mateixa operació, però aquesta vegada amb la corona feta per l'orfebre. El volum d'aigua que va desplaçar la corona es va situar entre mitjanes del volum de la plata i de l'or. Va ajustar els càlculs i va determinar de forma exacta la quantitat de plata i or que tenia la corona, demostrant així davant el rei Hierón II que l'orfebre li havia intentat enganyar.

Tota aquesta història no apareix en cap dels llibres que han arribat als nostres dies d'Arquimedes, sinó que apareix per primera vegada en “De architectura”, un llibre de Vitruvi escrit dos segles després de la mort d'Arquimedes. Açò durant anys ha fet sospitar de la veracitat dels fets, prenent-se generalment més com una llegenda popular que com un fet històric.

En qualsevol cas, encara que aquesta no fóra la història real, Arquimedes va deixar documents escrits en els quals descrivia a la perfecció el principi que porta el seu nom.